Question

10．已知函数f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求f（a）的值．
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式即可求f（a）的值．
（2）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：函数f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，
则f（a）=sinαcosα+cos²α+$\frac{1}{2}$=$\frac{sinαcosα+cos^2α+\frac{1}{2}（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）}{si{n}^{2}α+cos^2α}$=$\frac{tanα+1+\frac{1}{2}ta{n}^{2}α+\frac{1}{2}}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{17}{10}$；
 （2）将函数f（x）化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{3π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递增区间为：[$-\frac{3π}{8}+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．