Question

6．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），将曲线C₁上每一点的纵坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（横坐标不变），得到曲线C₂，直线l的极坐标方程：$\sqrt{3}ρcosθ+2ρsinθ+m=0$．
（Ⅰ）求曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）若曲线C₂上的点到直线l的最大距离为$2\sqrt{7}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设曲线C₁上一点P（x₁，y₁）与曲线C₂上一点Q（x，y），由题知：$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{y_1}{2}\end{array}\right.$，由此能求出曲线C₂的参数方程．
（Ⅱ） 直线l的直角坐标方程为：$\sqrt{3}x+2y+m=0$，求出曲线C₂上一点B（2cosθ，sinθ）到直线l的距离，由此能求出m的值．

解答 解：（Ⅰ） 设曲线C₁上一点P（x₁，y₁）与曲线C₂上一点Q（x，y），
由题知：$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{y_1}{2}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ） 由题知可得：直线l的直角坐标方程为：$\sqrt{3}x+2y+m=0$，
设曲线C₂上一点B（2cosθ，sinθ）到直线l的距离为d，
则$d=\frac{{|{2\sqrt{3}cosθ+2sinθ+m}|}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{|{4sin（{θ+\frac{π}{3}}）+m}|}}{{\sqrt{7}}}$，
当m＞0时，${d_{max}}=\frac{4+m}{{\sqrt{7}}}=2\sqrt{7}$，解得：m=10，
当m＜0时，${d_{max}}=\frac{4-m}{{\sqrt{7}}}=2\sqrt{7}$，解得：m=-10，
综上所述：m=±10．

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查实数值的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．