Question

11．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=2a₃+a₄，且S₅=62．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设公比为q（q＞0），由a₅=2a₃+a₄，且S₅=62，得到关于a₁，q方程组，解得即可，
（2）根据数列求和公式，以及裂项求和，和放缩法即可证明

解答 解：（1）设公比为q（q＞0），由a₅=2a₃+a₄，且S₅=62，
得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{4}=2{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}=62}\end{array}\right.$
解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2ⁿ，
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ⁺¹，S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1），S_n+1=2（2ⁿ⁺¹-1），
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{2×（{2}^{n}-1）×2×（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∵n+1≥2，
∴$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$≤$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）≥$\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，以及裂项求和和放缩法，属于中档题