Question

在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F为棱CE上异于点C、E的动点，则下列说法正确的有（　　）
①直线DE与平面ABF平行；
②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；
③存在点F使得直线BF与AC平行；
④存在点F使得DF⊥BC．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得DE∥AB，利用线面平行的判定定理即可得到：直线DE与平面ABF平行，即可判断出正误；
②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，可得四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．而AM⊥CD，DE⊥AM，可得AM⊥平面CDE．即可得出BF⊥平面CDE，即可判断出正误；
③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，即可判断出正误；
④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，利用线面垂直的判定定理可得：DF⊥平面BCE，即可判断出正误．

解答： 解：①∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB，而DE?平面ABF，AB?平面ABF，∴直线DE与平面ABF平行，正确；
②当F为CE的中点时，取CD的中点M，连接AM，MF，则MF

∥

.

1

2

DE，又AB

∥

.

1

2

DE，∴AB

∥

.

MF，∴四边形ABFM是平行四边形，BF∥AM．
而AM⊥CD，DE⊥AM，CD∩DE=D，∴AM⊥平面CDE．∴BF⊥平面CDE，因此正确；
③点C是平面ABF外的一点，因此BF与AC为异面直线，不可能平行，不正确；
④由③可得：当F为CE的中点时，BF⊥DF，DF⊥CE，BF∩CE=F，∴DF⊥平面BCE，∴存在点F使得DF⊥BC，正确．
综上可得：①②④正确．
故选：C．

点评：本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力，属于难题．