Question

某奇石厂为适应市场需求，投入98万元引进我国先进设备，并马上投入生产．第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：
（1）引进该设备多少年后，该厂开始盈利？
（2）引进该设备若干年后，该厂提出两种处理方案：
第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据利润等于收入-成本，可求利润函数，令其大于0，可得结论；
（2）分别求出两种处理方案的利润，再进行比较，即可得到结论．

解答： 解：（1）设引进该设备x年后，该厂盈利y万元，
则y=50x-98-[12x+

x(x-1)

2

×4]=-2x²+40x-98，
令y＞0可得10-

51

＜x＜10+

51

，
∵x是自然数，∴x=3时，该厂开始盈利；
（2）第一种：年平均利润为

y

x

=-2x-

98

x

+40≤-2

2x• 98 x

+40=12，
当且仅当2x=

98

x

，即x=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元；
第二种：盈利总额y=-2（x-10）²+102，当x=10时，取得最大值102，
即经过10年盈利总额最大，共盈利102+8=110万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，故采用第一种方案．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．