Question

对于函数f（x），若存在大于零的常数T和非零常数S，使得当x取定义域中的每一个值时，都有f（x+T）=f（x）+S，那么f（x）称为“类周期函数”，T叫做“类周期”．已知g（x）是定义在R上以1为周期的函数，h（x）=g（x）+x在[3，4]上的值域为[-2，5]．现有以下结论：
①h（x）是以1为“类周期“的“类周期函数“；
②h（x-3）=h（x）+3；
③h（x）在[0，1]上的值域为[-5，2]；
④函数y=h（x）的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得图象与h（x）重合．
其中正确结论的序号是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①由g（x）是定义在R上以1为周期的函数，得到g（x+1）=g（x），再求出h（x+1），即可判断；
②由①得，h（x+1）=h（x）+1，三次将x换成x-1，即可得到h（x-3）=h（x）-3，从而判断；
③令0≤x≤1则3≤x+3≤4，由条件，结合①，即可得到h（x）的值域；
④由图象平移可得y=h（x-1）+1，再由①即可判断．

解答： 解：①∵g（x）是定义在R上以1为周期的函数，
∴g（x+1）=g（x），∴h（x+1）=g（x+1）+x+1=g（x）+x+1=h（x）+1，故①正确；
②由①得，h（x+1）=h（x）+1，即h（x）=h（x-1）+1，即h（x-1）=h（x）-1，
∴h（x-2）=h（x-1）-1=h（x）-2，
则h（x-3）=h（x）-3，故②不正确；
③令0≤x≤1则3≤x+3≤4，则由h（x）=g（x）+x在[3，4]上的值域为[-2，5]，
得到-2≤h（x+3）≤5，∵h（x+3）=h（x）+3
即-2≤h（x）+3≤5即-5≤h（x）≤2，故③正确；
④函数y=h（x）的图象向右平移1个单位长度得到y=h（x-1）的图象，
再向上平移1个单位长度后，得到y=h（x-1）+1的图象，由①得即为y=h（x）的图象，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查函数的周期性及运用，以及新定义及运用，同时考查函数的值域和图象平移，是一道综合题．