Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=

3

，AA₁=2，E是BB₁的中点，且CE交BC₁于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．
（1）证明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）若BC⊥平面A₁PQ，求二面角A₁-QE-P的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明：CC₁∥平面A₁PQ；
（2）建立空间直角坐标系，求对应向量的法向量，利用向量法即可求二面角A₁-QE-P的大小．

解答： 解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△BEP≌△C₁CP，且E是BB₁的中点，
∴

CP

PE

=

2

1

=

CQ

BQ

，
∴PQ∥EB∥C₁C，
又PQ?平面A₁PQ，C₁C?平面A₁PQ
∴CC₁∥平面A₁PQ；
（2）由（1）知PQ∥C₁C，
∴PQ∥AA₁，
∴BC⊥平面A₁PQA，
∴BC⊥AQ，
又∠BAC=90°，CQ=2QB．
∴AC=

6

，
分别以A为坐标原点，以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，
则A₁（0，0，2），E（

3

，0，1），B（

3

，0，0），C（0，

6

，0），Q（

2 3

3

，

6

3

，0），

QE

=(

3

3

，-

6

6

，1)，

A1A

=(

3

，0，-1)，
设平面A₁QE的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • QE =0 m • A1E =0

，即

x= 2 y z=2x

，令y=1，
则

m

=(1，2

2

，

3

)，
又BC⊥AQ，A₁A⊥AQ，
∴AQ⊥平面BCC₁B₁，
∴取平面BCC₁B₁的法向量为

AQ

=（

2 3

3

，

6

3

，0），
∴二面角A₁-QE-P的余弦值为

AQ • m

| AQ |•| m |

=

2

2

，
即二面角A₁-QE-P的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查线面平行的判断，以及二面角的求解，利用空间向量法是解决本题的关键，综合性较强．