Question

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，

AE

=

AC

，DE交AB于点F．若AB=4，BP=3，则PF=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，由于点F在直径AB上，不能直接应用切割线定理或相交弦定理，考虑构造相似形求解．连接OC后，易证明△POC∽△PDF，然后根据相似三角形的性质，即可得到答案．

解答： 解：连接OC，如图所示，
∵∠AOC的度数=弧AC的度数，
∠EDC的度数=

1

2

弧EC的度数=弧AC的度数
∴∠AOC=∠EDC
∴∠POC=∠PDF
∴△POC∽△PDF
∴PD：PO=PF：PC，
即PF=

PC•PD

PO

=

PB•PA

PO

=

3×(3+4)

3+2

=

21

5

．
故答案为：

21

5

．

点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．