Question

18．设f（x）=lnx-ax+1．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，恒有f（x）≤0，求a范围，在此情况下，4^x-3•2^x+3≤a恒成立，求x范围；
（3）证明：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}（n∈N，n≥2）$．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，取得函数的单调性，即可求f（x）的极值；
（2）由（1）可知-lna≤0，a≥1.4^x-3•2^x+3≤a恒成立，4^x-3•2^x+3≤1，由此即可求x范围；
（3）证明lnx≤x-1，从而$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，令x=n²，可得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx-ax+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
a≤0时，f′（x）＞0，函数单调递增，无极值；
a＞0时，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{1}{a}$，函数单调递增，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{a}$，函数单调递减，
∴x=$\frac{1}{a}$，函数取得极大值f（$\frac{1}{a}$）=-lna；
（2）解：由（1）可知-lna≤0，∴a≥1．
4^x-3•2^x+3≤a恒成立，∴4^x-3•2^x+3≤1，∴4^x-3•2^x+2≤0，1≤2^x≤2，∴0≤x≤1；
（3）证明：当a=1，当0＜x≤1，f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，所以f（x）在（0，1]上单调递增；
x＞1时，f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，
∴lnx≤x-1．
∵x＞0，∴$\frac{lnx}{x}≤1-\frac{1}{x}$，
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]＜$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$[n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{2{n}^{2}-n+1}{4（n+1）}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}（n∈N，n≥2）$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中用放缩法证明不等式是解题的难点．