Question

12．若双曲线的顶点为椭圆2x²+y²=2长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（　　）

• A． x²-y²=1
• B． y²-x²=1
• C． y²-x²=2
• D． x²-y²=2

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长及离心率，得到双曲线的实半轴长及离心率，进一步求得双曲线的半焦距，结合隐含条件求得虚半轴长，则双曲线方程可求．

解答 解：由椭圆2x²+y²=2，得${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴a²=2，b²=1，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，a=$\sqrt{2}$．
则e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴双曲线的实半轴长m=$\sqrt{2}$，离心率e′=$\sqrt{2}$，
则双曲线的半焦距c′=$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，则虚半轴长n=$\sqrt{（c′）^{2}-{m}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}=1$，即y²-x²=2．
故选：C．

点评 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，考查双曲线的标准方程及椭圆的标准方程，属于基本知识直接应用题，双基考查题．