Question

已知函数f（x）=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

（ω＞0），其相邻两个最值点的横坐标之差为2π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足tanB=

3 ac

a2+c2-b2

且B为锐角，求函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）化简可得解析式f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由题意可得周期，从而可求ω，得函数解析式，从而可求f（x）的单调递增区间；
（2）由已知化简可得sinB=

3

2

，从而求得B的值，从而根据A的范围，即可求得函数f（A）的值域．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
∵

1

2

T=

1

2

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

4

，
∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)）
（2）由题意得：tanB=

3 ac

a2+c2-b2

=

3

2cosB

，
∴

sinB

cosB

=

3

2cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B为锐角
∴B=

π

3

        
∵f(A)=sin(

1

2

A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，解三角形，三角函数值域的求法，属于中档题．