Question

13．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）．
（1）当m=2时，解不等式f（$\frac{1}{x}$）＞1；
（2）若f（0）=1，且方程f（x）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算解不等式即可．
（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据f（x）在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，求函数在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．

解答 解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；
（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）
那么：不等式f（$\frac{1}{x}$）＞1；即lg（$\frac{1}{x}$+2）＞lg10，
可得：$\frac{1}{x}$+2＞10，且$\frac{1}{x}$+2＞0，
解得：0＜x＜$\frac{1}{8}$，
∴不等式的解集为{x|0＜x＜$\frac{1}{8}$}；
（2）∵f（0）=1，可得m=10．
∴f（x）=lg（x+10）
f（x）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ，即lg（x+10）=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x+λ在闭区间[2，3]上有实数解，
可得λ=lg（x+10）-（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x，
令F（x）=lg（x+10）-（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）^x，求在闭区间[2，3]上的值域．
根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，
∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
故得实数λ的范围是[lg12-$\frac{1}{2}$，lg13-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题在对数与三角函数中的运用．