Question

17．已知定义在[-2，2]上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，且$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，若f（1-t）+f（1-t²）＜0，则实数t的取值范围为[-1，1）．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数，且在其定义域上为减函数，可以将f（1-t）+f（1-t²）＜0变形为f（1-t）＜f（t²-1），分析可得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-t≤2}\\{-2≤1-{t}^{2}≤2}\\{1-t＞1-{t}^{2}}\end{array}\right.$，解可得t的范围，即可得答案．

解答 解：根据题意：定义在[-2，2]上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，
则函数f（x）为奇函数，
又由且$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，则函数f（x）在其定义域上为减函数，
若f（1-t）+f（1-t²）＜0，则有f（1-t）＜f（t²-1），
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-t≤2}\\{-2≤1-{t}^{2}≤2}\\{1-t＞1-{t}^{2}}\end{array}\right.$，解可得-1≤t＜1，
即实数t的取值范围为[-1，1）；
故答案为：[-1，1）

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意不能忽略函数的定义域．