Question

3．已知线段AM的端点A的坐标是（3，0），端点M在圆C：x²+y²=4上．
（1）当直线AM与圆C相切时，求直线AM的方程；
（2）若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）当AM的斜率不存在时，直线AM的方程为x=3，不成立；当AM的斜率k存在时，设直线AM的方程为kx-y-3k=0，由圆心C（0，0）到直线AM的距离为半径2，求出k，由此能求出直线AM的方程．
（2）设M（2cosθ，2sinθ），P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$=（x-3，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-2cosθ，y-2sinθ），再由动点P满足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，能求出点P的轨迹方程．

解答 解：（1）∵线段AM的端点A的坐标是（3，0），端点M在圆C：x²+y²=4上．
直线AM与圆C相切，
∴当AM的斜率不存在时，直线AM的方程为x=3，不成立；
当AM的斜率k存在时，设直线AM的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
圆心C（0，0）到直线AM的距离：d=$\frac{|-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线AM的方程为：y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-3）或y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-3）．
（2）设M（2cosθ，2sinθ），P（x，y），
则$\overrightarrow{AP}$=（x-3，y），$\overrightarrow{MP}$=（x-2cosθ，y-2sinθ），
∵动点P满足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{MP}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=2x-4cosθ}\\{y=2y-4sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），
消去参数θ，得点P的轨迹方程为（x+3）²+y²=16．

点评 本题考查直线方程的求法，考查轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、圆的参数方程、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．