Question

7．若关于x的方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（{0，\frac{4}{27}}）$
• B． $（{0，\frac{4}{27}}]$
• C． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}）$
• D． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}]$

Answer 1

分析 根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根．
当x＞0时，方程|x⁴-x³|=ax等价为a=|x³-x²|，
令f（x）=x³-x²，f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{3}$，由f′（x）＞0得x＜0或x＞$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{2}{3}}）$上递减，在$（{-∞，0}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$上递增，又f（1）=0，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，函数f（x）取得极小值f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，则|f（x）|取得极大值|f（$\frac{2}{3}$）|=$\frac{4}{27}$，
∴设$g（x）=\frac{{|{{x^4}-{x^3}}|}}{x}=\left\{\begin{array}{l}|{f（x）}|，x＞0\\-|{f（x）}|，x＜0\end{array}\right.$的图象如下图所示，
则由题可知当直线y=a与g（x）的图象有3个交点时0＜a＜$\frac{4}{27}$，
此时方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4个不同的实根，
故$a∈（{0，\frac{4}{27}}）$．
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．