Question

18．已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=f（x）-ax+$\frac{a}{x-1}$．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数y=g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1）．求证：g（t）-g（s）＞e-$\frac{1}{e}$+2．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用f′（1）=0，解方程即可．
（2）先化简函数g（x），根据函数y=g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值，建立方程关系进行求解即可．
（3）根据g（x）的导数，判断函数g（x）的单调性，结合函数单调性和不等式之间的关系进行证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若函数y=f（x）在x=1处取得极值，
则f′（1）=0，即1+a=0，
则a=-1
（2）g（x）=f（x）-ax+$\frac{a}{x-1}$=lnx+ax-ax+$\frac{a}{x-1}$=lnx+$\frac{a}{x-1}$．
∵函数g（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$在（0，$\frac{1}{e}$）内有极值
∴g′（x）=0在（0，$\frac{1}{e}$）内有解，令h（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜$\frac{1}{e}$，则β＞e
∵h（0）=1＞0，
∴h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{a+2}{e}$+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2；
（3）证明：由g′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由g′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴g（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由s∈（0，1），可得g（s）≤g（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，
由t∈（1，+∞），可得g（t）≥g（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
∴g（t）-g（s）≥g（β）-g（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴g（β）-g（α ）=2lnβ+a×$\frac{α-β}{（β-1）（α-1）}$=2lnβ+a×$\frac{\frac{1}{β}-β}{2-（a+2）}$=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
记h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e）
则h′（β）=$\frac{2}{β}$+1+$\frac{1}{{β}^{2}}$＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h（β）＞h（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴g（t）-g（s）＞e-$\frac{1}{e}$+2．

点评 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．难度较大．