Question

5．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE，分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．
（Ⅰ）求证：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）若E为CB的中点，EG=1，GA=3，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，证明∠C=∠EGF，∠DFC=∠EFG，即可证明：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）利用切割线定理，求线段CD的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，则BD⊥AD，
∵CB与⊙O相切于B，∴AB⊥CB，
∴∠C=∠ABD
∵∠AGD=∠ABD=∠EGF，
∴∠C=∠EGF，
∵∠DFC=∠EFG，
∴△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）解：∵EG=1，GA=3，
∴由切割线定理EG•EA=EB²，得EB=2
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵CB=4，
∴AC=2$\sqrt{7}$，
∵CB²=CA•CA，
∴CD=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．