Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{11}{5}$，x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，求sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式与和差公式可得f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+1，再利用三角函数的周期性、单调性即可得出．
（II）由（I）可知$f（{x_0}）=2sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）+1=\frac{11}{5}$，可得$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$\frac{3}{5}$，由x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，可得$2{x}_{0}+\frac{π}{6}$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}]$．可得$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）=-\frac{4}{5}$．再利用弧长公式即可得出．

解答 解：（I）由$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x（x∈R）$，得$f（x）=2×\frac{1}{2}\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1-1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
∴函数f（x）的最小正周期为π．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得单调增区间是：$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]$，k∈z．
（Ⅱ）由（1）可知$f（{x_0}）=2sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）+1=\frac{11}{5}$
得$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$=$\frac{3}{5}$，
∵x₀∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$]，∴$2{x}_{0}+\frac{π}{6}$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}]$．
∴$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）=-\frac{4}{5}$．
∴sin（2x₀-$\frac{π}{12}$）=$sin[{（2{x_0}+\frac{π}{6}）-\frac{π}{4}}]$
=$sin（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{4}$-$cos（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）$$sin\frac{π}{4}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．