已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的一动点P到左.右焦点F1.F2的距离之和为2$\sqrt{2}$.点P到椭圆一个焦点的最远距离为$\sqrt{2}$+1(Ⅰ)求椭圆的方程,(Ⅱ)过右焦点F2的直线交椭圆于A.B两点①若y轴上是否存在一点M满足|MA|=|MB|.求直线l斜率k的值,②是否存在这样的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一动点P到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，点P到椭圆一个焦点的最远距离为$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点
①若y轴上是否存在一点M（0，$\frac{1}{3}$）满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；
②是否存在这样的直线l，使S_△ABO的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

分析（I）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，根据椭圆的性质可知，2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆方程；
（II）设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程，则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，由弦长公式可知$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
①设直线方程，联立，得到中点坐标，根据|MA|=|MB|，得到MG所在的直线与直线l垂直，根据两直线斜率之积为-1，即可求得直线l斜率k的值；
②分成斜率存在和不存在两种情况讨论，分别求得弦长丨AB丨，原点到直线的距离，进而求得面积的表达式，根据不等式即可得到结果．

解答解：（I）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，由P到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，
根据椭圆的性质可知，2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，…1分
点P到椭圆一个焦点的最远距离为a+c=$\sqrt{2}$+1
∴c=1，
b²=a²-c²=1，…2分
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…3分
（II）由（Ⅰ）可知：F₂（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），
联立直线与椭圆方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，…4分
①由AB的中点坐标为G（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），…5分
当k≠1时，由|MA|=|MB|，得到MG所在的直线与直线l垂直，
由MG所在的直线斜率为$\frac{-\frac{k}{1+2{k}^{2}}-\frac{1}{3}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-0}$=$\frac{-2k-1-2{k}^{2}}{6{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，解得：k=1或k=$\frac{1}{2}$；…7分
当k=0时，AB的中垂线所在的直线的方程为x=0，满足题意，
综上所述，斜率k的取值为0，$\frac{1}{2}$，1；…8分
（2）当直线l的斜率不存在时，此时A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），得到丨AB丨=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…9分
当直线l的斜率存在时，丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，…10分

原点到直线l的距离为d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…11分
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{2}$丨AB丨•d=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，…12分
由$\frac{1}{4（1+2{k}^{2}）^{2}}$＞0，
所以S_△ABO＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
综上所述，S_△ABO的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以满足题意的直线存在，方程为x=1…14分