Question

5．已知a∈R，若$f（x）=（x+\frac{a}{x}）{e^x}$在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为a＞0．

Answer 1

分析 求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x，
∴f′（x）=（$\frac{{x}^{3}{+x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$）e^x，
设h（x）=x³+x²+ax-a，
∴h′（x）=3x²+2x+a，
a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，
∵h（0）=-a＜0，h（1）=2＞0，
∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x₀，使得f′（x₀）=0，
且在（0，x₀）上，f′（x）＜0，在（x₀，1）上，f′（x）＞0，
∴x₀为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；
a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x²+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，
此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；
a＜0时，h（x）=x³+x²+a（x-1），
∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，
即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．
综上所述，a＞0，故答案为：a＞0．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．