Question

13．平面α过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线$AB_1^{\;}$，且平面α⊥平面C₁BD，平面α∩平面ADD₁A₁=AS，则∠A₁AS的正切值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 推导出A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁，从而A₁C⊥平面C₁BD，以AA₁为侧棱补作一个正方体AEFG-A₁PQS，使得侧面AGRA₁与平面ADD₁A₁共面，连结AQ，则AQ∥CA₁，连结QB₁，交A₁R于S，则平面AQB₁就是平面α，且AS为所求作，由此能求出结果．

解答 解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD⊥AC，BD⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面AA₁C，∴A₁C⊥BD，
同理，得A₁C⊥BC₁，
∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD，
如图，以AA₁为侧棱补作一个正方体AEFG-A₁PQS，
使得侧面AGRA₁与平面ADD₁A₁共面，
连结AQ，则AQ∥CA₁，连结QB₁，交A₁R于S，则平面AQB₁就是平面α，且AS为所求作，
∵AQ∥CA₁，∴AQ⊥平面C₁BD，
∵AQ?平面α，∴平面α⊥平面C₁BD，
∴tan∠A₁AS=$\frac{{A}_{1}S}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查平角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．