题目内容
1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≤0\\ \frac{{\sqrt{x}}}{e^x}，x＞0\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-a+1=0恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）| A． | $（1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1）$ | B． | $（1，\frac{1}{e}+1）$ | C． | $（0，\frac{1}{2e}+1）$ | D． | $（\frac{1}{e}，1）$ |
分析 利用导数求出函数的单调区间，画出函数图象，根据图象即可求解．
解答 
解：当x＞0时，f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，x$∈（0，\frac{1}{2}）$时，f′（x）＞0，x$∈（\frac{1}{2}，+∞）时$，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
所以函数f（x）的图形如下：
根据图象可得：方程f（x）-a+1=0恰有3个不同的实数根时，0＜a-1＜f（$\frac{1}{2}$）
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，实数a的取值范围为（1，1+$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$）．
故选：A．
点评 本题考查了函数的零点的定义及求法，考查了函数与方程的思想、数形结合思想，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF=EG=1，AE=3
9．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，焦距为$4\sqrt{3}$，则双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\sqrt{2}$x | B． | y=±2x | C． | y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x | D． | y=±$\frac{1}{2}$x |
16．
矩形ABCD中，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）
矩形ABCD中，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（ ）| A． | $[0，\frac{π}{6}]$ | B． | $[0，\frac{π}{3}]$ | C． | $[0，\frac{π}{2}]$ | D． | $[0，\frac{2π}{3}]$ |
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