Question

5．如图，已知点C是圆心为O半径为1的半圆弧上动点（不含端点A和B），AB是直径，直线CD⊥平面ABC，CD=1．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）求三棱锥D-ABC体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，AC⊥CD，从而AC⊥平面BCD，由此能证明AC⊥BD．
（2）令BC=a，AC=b，则a²+b²=4，从而求出S_△ABC≤1，由此能求出三棱锥D-ABC体积的最大值．

解答 证明：（1）∵C点在以AB为直径的半圆弧上，∴AC⊥BC，
∵CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥CD，
∵BC∩CD=C，∴AC⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD．
解：（2）令BC=a，AC=b，则a²+b²=4，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab≤\frac{1}{2}×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=1，CD=1，
当且仅当a=b=$\sqrt{2}$时，取等号，
∴$V=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×|CD|$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$$≤\frac{1}{3}$，
∴三棱锥D-ABC体积的最大值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．