Question

【题目】如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．

（Ⅰ）证明：面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．

（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

证明：（Ⅰ ）取中点，连结、，

∵ ，，

∴ 四边形是平行四边形，

∵ ，，，

∴ ，

∴ ，∴，

在中，，

又∵ 为的中点，∴，

又∵ ，∴．

解：（Ⅱ）∵，，，

∴ ，

以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴ ，，，

设面的法向量，

则，取，得，

同理，得平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则，

∴ 二面角的余弦值为．