Question

在△ABC中，AB=3AC，AD是∠A的平分线，且AD=mAC，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：设出AC，利用三角形内角平分线的性质可知，BD=

3

4

BC，CD=

1

4

BC，通过余弦定理求出cos

A

2

=

2m

3

，结合A的范围通过三角函数的有界性，求出实数m的取值范围．

解答： 解：设AC=1，则AB=3，由三角形内角平分线的性质可知，BD=

3

4

BC，CD=

1

4

BC，
在△ACD中，由余弦定理可得：(

3

4

BC)2=9+m2-2×3mcos

A

2

，
在△ABD中，由余弦定理可得：(

1

4

BC)2=1+m2-2×mcos

A

2

，
消去BC并化简得：cos

A

2

=

2m

3

，
∵0＜

A

2

＜

π

2

，∴cos

A

2

∈（0，1）
∴0＜

2m

3

＜1，
解得m∈（0，

3

2

）．
实数m的取值范围是：（0，

3

2

）．
故答案为：：（0，

3

2

）．

点评：本题考查角的平分线的性质的应用，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．