Question

6．已知集合A={x|x²-（2a+6）x-3a²-2a+5＜0}，B={x|x＜1或x≥4}．
（1）当A∪B=R时，求实数a的取值范围；
（2）当∁_RB⊆∁_RA时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a的范围，表示出A中不等式的解集，确定出A，根据A与B的并集为R，确定出a的范围即可；
（2）讨论a的范围，根据B补集为A补集的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）由A中不等式变形得：（x-3a-5）（x+a-1）＜0，
当3a+5＞1-a，即a＞-1时，解得：1-a＜x＜3a+5，即A=（1-a，3a+5），
∵B=（-∞，1）∪[4，+∞），且A∪B=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜1}\\{3a+5≥4}\end{array}\right.$，即a＞0；
当3a+5＜1-a，即a＜-1时，解得：3a+5＜x＜1-a，即A=（3a+5，1-a），
∵B=（-∞，1）∪[4，+∞），且A∪B=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+5＜1}\\{1-a≥4}\end{array}\right.$，即a≤-3，
综上，a的范围为a≤-3或a＞0；
（2）全集为R，
当3a+5=1-a，即a=-1时，A=∅，∁_RA=R，显然成立．
当3a+5＞1-a，即a＞-1时，A=（1-a，3a+5），B=（-∞，1）∪[4，+∞），
∴∁_RA=（-∞，1-a]∪[3a+5，+∞），∁_RB=[1，4），
∵∁_RB⊆∁_RA，
∴1-a≥4或3a+5≤1，
解得：a≤-3，
此时a无解；
当3a+5＜1-a，即a＜-1时，A=（3a+5，1-a），
∴∁_RA=（-∞，3a+5]∪[1-a，+∞），∁_RB=[1，4），
∵∁_RB⊆∁_RA，
∴3a+5≥4或1-a＜1，且a＜-1，无解，
综上，a的范围为{-1}．

点评 此题考查了并集及其运算，以及补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．