Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{a-ax+{x}^{2}}$
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
（Ⅱ）若f（x）在∈[2，3]上有意义，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为a-ax+x²≥0恒成立，根据韦达定理得到不等式，解出即可；（Ⅱ）问题等价于λ（x）=a-ax+x²≥0在[2，3]上恒成立，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定义域为R，相当于任意实数x，
使a-ax+x²≥0恒成立，即△≤0成立，解得0≤a≤4；
（Ⅱ）f（x）在区间[2，3]上有意义，
等价于λ（x）=a-ax+x²≥0在[2，3]上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{λ（2）≥0}\end{array}\right.$，解得：a≤4，
或$\left\{\begin{array}{l}{2＜\frac{a}{2}＜3}\\{△≤0}\end{array}\right.$，无解，
或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≥3}\\{λ（3）≥0}\end{array}\right.$，无解；
总之，a≤4．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．