Question

已知函数f（x）=sin⁴x+2

3

sinx•cosx-cos⁴x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且f（A）=2，求

b+c

2a

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

6

），可得它的周期．由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π (k∈Z)，求得x的范围，可得函数f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A-

π

6

)=2，得sin(2A-

π

6

)=1，再利用三角形内角公式求得C的范围，利用正弦定理、正弦函数的定义域和值域求得

b+c

2a

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=sin4x+2

3

sinx•cosx-cos4x=（sin²x+cos²x）•（sin²x-cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），∴T=

2π

|ω|

=π．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π (k∈Z)，求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π (k∈Z)，
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π](k∈Z)．
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A-

π

6

)=2，得sin(2A-

π

6

)=1，
又-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，则2A-

π

6

=

π

2

⇒A=

π

3

，从而B=

2π

3

-C，
所以

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( 2π 3 -C)+sinC

2sin π 3

=

3 2 cosC+ 3 2 sinC

3

=

1

2

cosC+

3

2

sinC=sin(C+

π

6

)．
∵0＜C＜

2π

3

，∴

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

⇒sin(C+

π

6

)∈(

1

2

，1]，从而

b+c

2a

=sin(C+

π

6

)∈(

1

2

，1]．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，正弦定理，属于中档题．