Question

已知f（x）=

(sinx+cosx)2

1+2sin2x+sin22x

，
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）若f（x）=2，且-

π

4

＜x＜

3π

4

，求x的值；
（Ⅲ）若0＜x＜π，求不等式：f（x）≥4+2

3

的解集A．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由函数的解析式直接求得f（

π

4

）的值．
（Ⅱ）由f（x）=2，求得 sin2x=-

1

2

，再由-

π

4

＜x＜

3π

4

，求得x的值．
（Ⅲ）由

1

1+sin2x

≥4+2

3

求得 -1＜sinx≤-

3

2

，再根据0＜x＜π，求得x的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）=

(sinx+cosx)2

1+2sin2x+sin22x

，
∴f(

π

4

)=

( 2 )2

1+2+1

=

1

2

．
（2）由于f(x)=

1

1+sin2x

，令

1

1+sin2x

=2，得sin2x=-

1

2

．
由-

π

4

＜x＜

3π

4

得-

π

2

＜2x＜

3π

2

，
∴2x=-

π

6

或 2x=

7π

6

，
从而求得x=-

π

12

或x=

7π

12

．
（Ⅲ）由

1

1+sin2x

≥4+2

3

得0＜1+sin2x≤

1

4+2 3

，
∴-1＜sinx≤-

3

2

．
又0＜x＜π，∴0＜2x＜2π，
∴2x∈[

4π

3

，

3π

2

)∪(

3π

2

，

5π

3

]，
从而A=[

2π

3

，

3π

4

)∪(

3π

4

，

5π

6

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，解三角不等式题．