Question

13．下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x²+x-1，则x≥0时，f（x）=-2x²+x+1；
③函数$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$的值域是$（{-1，\frac{3}{2}}）$；
④正四面体 A-BCD的内切球体积为V₁，外接球体积为V₂，则$\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{27}$．
其中正确的有①③④．

Answer 1

分析 ①由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解出a，即可判断出结论；
②x=0时，f（0）=0，即可判断出正误；
③变形：函数$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$=$\frac{5-（2+{2}^{x}）}{2+{2}^{x}}$=$\frac{5}{2+{2}^{x}}$-1，由2^x＞0，可得$\frac{1}{2+{2}^{x}}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，进而得出值域．
④不妨设正四面体 A-BCD的棱长为2，内切球的半径为r，外接球的半径为R，利用三棱锥体积计算公式可得：解得r，R．即可判断出结论．

解答 解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜0，故①正确；
②f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x²+x-1，则x=0时，f（0）=0；
x＞0时，-x＜0，f（-x）=2x²-x-1，则f（x）=-f（-x）=-2x²+x+1，故②不正确．
③函数$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$=$\frac{5-（2+{2}^{x}）}{2+{2}^{x}}$=$\frac{5}{2+{2}^{x}}$-1，∵2^x＞0，∴$\frac{1}{2+{2}^{x}}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，∴y∈$（{-1，\frac{3}{2}}）$，故③正确．
④不妨设正四面体 A-BCD的棱长为2，内切球的半径为r，外接球的半径为R，则$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²•r×4=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，$（\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}-R）^{2}$+$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=R²，解得r=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，R=$\frac{3}{\sqrt{6}}$．则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$（\frac{r}{R}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性、一元二次方程的方程的实数根与判别式的关系、正四面体与正三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．