Question

已知数列{a_n}满足a₁=

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，a_n+1=

2an+2n-2，n为奇数 -an-n，n为偶数

，数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ） 求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 证明：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ） 是否存在n（n∈N^*），使得S_2n+1-

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=b_2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ） 根据数列的递推关系即可求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 根据等比数列的定义即可证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ） 求出S_2n+1，b_2n，解方程即可得到结论．

解答： 解：（I） 因为a₂=1，a₃=-3，所以a₂+a₃=-2．（或者根据已知a_2n+1+a_2n=-2n，可得a₃+a₂=-2．）                    …（3分）
（II） 证明：b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，b₁=a₂=2a₁=1，
故数列{b_n}是首项为1，公比为-2的等比数列．…（7分）
（III）由 （II） 知bn=(-2)n-1，
所以b2n=(-2)2n-1=-22n-1．
设cn=a2n+a2n+1(n∈N*)，则cn=-2n，
又S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=a₁+c₁+c₂+…+c_n=-n2-n+

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．
则由S2n+1-

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=b2n，得2n²+2n+40=4ⁿ，
设f（x）=4^x-2x²-2x-40（x≥2），
则g（x）=f′（x）=4^xln4-4x-2，g′（x）=4^xln²4-4＞0（x≥2），所以g（x）在[2，+∞）上单调递增，g（x）≥g（2）=f'（2）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）上单调递增
又因为f（1）＜0，f（3）=0，
所以仅存在唯一的n=3，使得S2n+1-

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=b2n成立．…（13分）

点评：本题主要考查递推数列的应用以及等比数列的证明，考查学生的运算和推理能力．