Question

已知动点P到点F（2，0）的距离与到直线l：x=

1

2

的距离之比为2．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出P的坐标，利用已知条件得到方程化简求解即可求点P的轨迹C的方程；
（2）直线l的方程为x+y-2=0，l与曲线C联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式，即可求线段AB的长．

解答： 解：（1）设点P的坐标为（x，y），则由题意得

(x-2)2+y2

| x- 1 2  |

=2，…（2分）
化简得x2-

y2

3

=1，即为点P的轨迹C的方程．…（6分）
（2）将y=-x+2代入x2-

y2

3

=1中，并化简得：2x²+4x-7=0，…（8分）
A，B两点的坐标分别为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由韦达定理可得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，
所以|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=6．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．