Question

4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是$\frac{1}{4}$．
（1）求该生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求该生在上学路上遇到红灯次数ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）该生在上学路上到第一个路口和第二个路口都遇到绿灯，由此能求出该生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出ξ的分布列及期望．

解答 解：（1）∵该生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯，
∴该生在上学路上到第一个路口和第二个路口都遇到绿灯，
∵在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是$\frac{1}{4}$，
∴该生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率：
p=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{9}{64}$．
（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{4}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{81}{256}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{108}{256}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{12}{256}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{1}{256}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{1}{256}$

Eξ=$0×\frac{81}{256}+1×\frac{108}{256}$+2×$\frac{54}{256}$+3×$\frac{12}{256}$+4×$\frac{1}{256}$=1．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．