Question

20．已知函数f（x）=x²-ln$\frac{1}{x}$．
（1）求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的最大值和最小值；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，函数g（x）=$\frac{2}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²的图象在y=f（x）的图象上方．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值和最大值即可；
（2）令F（x）=g（x）-f（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
∵x≥$\frac{1}{e}$，∴f′（x）＞0，
f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上递增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-1，f（x）_最大值=f（e²）=e⁴+2；
（2）证明：令F（x）=g（x）-f（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-lnx，
则F′（x）=$\frac{{2x}^{3}{-x}^{2}-1}{x}$，
令h（x）=2x³-x²-1，∵x＞1，
∴h′（x）=2x（3x-1）＞0，
h（x）在（1，+∞）递增，h（x）＞h（1）=0，
∴x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）递增，
F（x）＞F（1）=$\frac{1}{6}$＞0，即g（x）＞f（x），
∴x∈（1，+∞）时，函数g（x）的图象在y=f（x）图象的上方．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．