Question

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0和圆N：x²+y²+2x+2y-6=0，直线l：x+y-9=0．
（1）求过圆M，N的交点及原点O的圆的方程；
（2）过直线上一点作使∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上．
①当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
②求点A的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据题意，设所求圆的方程为2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），把原点代入即可得出．
（2））①当点A的横坐标为4时，则点A（4，5），而圆心M（2，2），可得|AM|=

13

，又∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，圆心M到边AC所在直线的距离为d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，设边AC所在直线的方程为y-5=k（x-4），利用d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k即可．
②A点在直线l：x+y-9=0上，设点A（m，9-m），则|AM|=

2m2-18m+53

，而∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，且圆M的半径为

34

2

，可得

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得即可．

解答： 解：（1）根据题意，设所求圆的方程为2x²+2y²-8x-8y-1+λ（x²+y²+2x+2y-6）=0（λ≠-2），
又所求圆过原点O，则-1-6λ=0，得λ=-

1

6

所求圆的方程为2x2+2y2-8x-8y-1-

1

6

(x2+y2+2x+2y-6)=0，即x2+y2-

50

11

x-

50

11

y=0
（2）①当点A的横坐标为4时，则点A（4，5），而圆心M（2，2），则|AM|=

13

，
又∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，
则圆心M到边AC所在直线的距离为d=|AM|sin∠BAC=

26

2

，
设边AC所在直线的方程为y-5=k（x-4），
∴d=

|3-2k|

k2+1

=

26

2

，解得k=-5或k=

1

5

．
则边AC所在直线的方程为y-5=-5（x-4）或y-5=

1

5

(x-4)，
即5x+y-25=0或x-5y+21=0．
②∵A点在直线l：x+y-9=0上，设点A（m，9-m），则|AM|=

2m2-18m+53

，
而∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，且圆M的半径为

34

2

，
则

2

2

•

2m2-18m+53

≤

34

2

，解得3≤m≤6．
即点A的横坐标的取值范围为[3，6]．

点评：本题考查了直线与圆的相交问题、圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．