Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；
（2）是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB（O为坐标原点）．若存在，求出直线m的方程； 若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知能求出圆的标准方程，圆心坐标（1，-2）和半径．
（2）假设直线m：y=x+b，代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因为直线与圆相交，从而b²+6b-11＜0，由此能求出直线方程．

解答： 解：（1）圆的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，
圆心坐标（1，-2），半径为3…（3分）
（2）假设直线m：y=x+b，
代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因为直线与圆相交，
所以b²+6b-11＜0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-b-1 ，  x1x2=

b2+4b-4

2

，…（4分）
由OA，OB垂直，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
∴（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，
均满足b²+6b-11＜0，
所求直线存在y=x-4或y=x+1．

点评：本题考查圆的标准方程、圆心坐标和半径的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．