Question

19．已知平面向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec e$满足|$\vec e}$|=1，$\vec a$•$\vec e$=2，$\vec b$•$\vec e$=3，|$\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{5}$，则$\vec a$•$\vec b$的最小值为5．

Answer 1

分析 设出三个向量的坐标，根据数量积关系得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的横坐标，根据|$\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{5}$得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的纵坐标的关系，代入数量积公式，利用二次函数性质得出最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{e}$=（1，0），$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=x₁=2，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$=x₂=3，即$\overrightarrow{a}$=（2，y₁），$\overrightarrow{b}$=（3，y₂），
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-1，y₁-y₂）．
∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，∴（y₁-y₂）²=4，∴y₁=y₂±2．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=6+y₁y₂=6+y₂（y₂±2）=y₂²±2y₂+6=（y₂±1）²+5≥5，
故答案为：5．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于中档题．