Question

已知函数．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)设,若在上至少存在一点，使得成立，求的范围．

Answer 1

(Ⅰ)在，上单调递减，在上单调递增；(Ⅱ)的取值范围为．

试题分析：（Ⅰ）对求导来判断单调区间；（Ⅱ）在上至少存在一点，使得成立，即不等式在上有解，原不等式整理得：（），转化为求在的最小值问题．
试题解析：（Ⅰ）解：．，解得：在，上单调递减，在上单调递增；
（Ⅱ），在上至少存在一点，使得成立，即：不等式在有解，也即：（）有解，记，则，，令，，，，在单调递增，，即在上恒成立，因此，在上，在上，即在单调递减，在单调递增，，所以，的取值范围为．
方法二：令，则，
即，
①当时，在上为增函数，在上为减函数，由题意可知，，；
②当时，在上为增函数，在，上为减函数，，由题意可知，；
③当时，在上为增函数，在，上为减函数，，由题意可知，，恒成立，此时不合题意．
综上所述，的取值范围为