Question

17．设f（x）=e^x•sinx+ax，x∈[0，2π]（a为常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0.2π）的极大值、极小值各有一个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设g（x）=f'（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于a是不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=0时，$f'（x）={e^x}（sinx+cosx）=\sqrt{2}{e^x}sin（x+\frac{π}{4}）$，
令f'（x）＞0，则$0＜x＜\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}＜x＜2π，f（x）$单调递增；
令f'（x）＜0，则$\frac{3π}{4}＜x＜\frac{7π}{4}，f（x）$单递减，
所以f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{3π}{4}），（\frac{7π}{4}，2π）$，单调递减区间为$（\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}）$．
（2）设g（x）=f'（x）=e^x（sinx+cosx）+a，则g'（x）=2e²cosx，
令g'（x）＞0，则$cosx＞0，0＜x＜\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}＜x＜2π$，
令g'（x）＜0，则$cosx＜0，\frac{π}{2}＜x＜\frac{3π}{2}$，
所以g（x）的单调递增区间为$（0，\frac{π}{2}），（\frac{3π}{2}，2π）$，单调递减区间为$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$．
故g（x）在$x=\frac{π}{2}$处取得极大值，在$x=\frac{3π}{2}$处取得极小值，
$g（0）=a+1，g（\frac{π}{2}）=a+{e^{\frac{π}{2}}}，g（\frac{3π}{2}）=a-{e^{\frac{3π}{2}}}，g（2π）=a+{e^{2π}}$，
所以$g（{2π}）＞g（\frac{π}{2}）＞g（0）＞g（\frac{3π}{2}）$
①若$g（\frac{3π}{2}）≥0$，则f'（x）≥0，f（x）在（0，2π）上单调增，
故f（x）在（0，2π）无极值，所以$g（\frac{3π}{2}）＜0$；
②若$g（\frac{3π}{2}）≤0$，则f（x）在（0，2π）内至多有一个极值点，从而$g（{2π}）＞0，g（\frac{π}{2}）＞0$，
于是在区间$（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}），（\frac{3π}{2}，2π）$内f（x）分别有极大值、极小值各一个，
则在$（0，\frac{π}{2}）$内无极值点，从而g（0）≥0，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）≥0\\ g（\frac{π}{2}）＞0\\ g（\frac{3π}{2}）＜0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+1≥0\\ a+{e^{\frac{π}{2}}}＞0\\ a-{e^{\frac{3π}{2}}}＜0\end{array}\right.⇒-1≤a＜{e^{\frac{3π}{2}}}$，
所以a的取值范围是$-1≤a＜{e^{\frac{3π}{2}}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．