Question

12．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x-1}$（a•b≠0）．
（1）当b=a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-3，证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （1）求出b=a=1时，函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；
（2）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，可得a=1，b=-1，再设曲线上任取一点（x₀，x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$）．求得切线的方程，令x=1，y=x求得交点，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）当b=a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，
导数为f′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{（x-2）x}{（x-1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞2或x＜0；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1或1＜x＜2．
则f（x）的增区间为（-∞，0），（2，+∞）；
减区间为（0，1），（1，2）；
（2）证明：函数f（x）=ax+$\frac{b}{x-1}$的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{（x-1）^{2}}$，
由曲线在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-3，
可得a-b=2，f（2）=2a+b=1，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=x-$\frac{1}{x-1}$，
在曲线上任取一点（x₀，x₀-$\frac{1}{{x}_{0}-1}$）．
由f′（x₀）=1+$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$，
过此点的切线方程为y-x₀+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$=[1+$\frac{1}{（{x}_{0}-1）^{2}}$]（x-x₀），
令x=1得y=$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$，切线与直线x=1交点为（1，$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$），
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1），
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
从而所围三角形的面积为$\frac{1}{2}$|$\frac{{x}_{0}-3}{{x}_{0}-1}$-1|•|2x₀-1-1|=$\frac{1}{2}$|$\frac{2}{{x}_{0}-1}$|•|2x₀-2|=2．
所以所围三角形的面积为定值2．

点评 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调区间，考查三角形的面积为定值的求法，考查化简整理和运算求解能力．属于中档题．