Question

11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a²+b²-c²=4S_△ABC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的面积公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商数关系和特殊角的函数值，可得角C；
（2）运用正弦定理和两角差的正弦公式，结合正弦函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由a²+b²-c²=4S_△ABC得：a²+b²-c²=4×$\frac{1}{2}$absinC=2absinC，
即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，
又角C为△ABC的内角，所以∠C=45°；
（2）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
可得a=2sinA，b=2sinB，
所以a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=2sinA-$\sqrt{2}$sinB=2sin A-$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-A）
=2sinA-$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA）=sinA-cosA
=$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$），
又因为0＜A＜$\frac{3}{4}$π，所以-$\frac{π}{4}$＜A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
可得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A-$\frac{π}{4}$）＜1，
所以-1＜$\sqrt{2}$sin（A-$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$，
故a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b的取值范围是（-1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的运用，属于中档题．