Question

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足an=

2Sn2

2Sn-1

(n≥2)
（1）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的定义，将条件求an=

2Sn2

2Sn-1

(n≥2)进行转化即可证明数列{

1

Sn

}是等差数列   
（2）根据{

1

Sn

}是等差数列 即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

，
整理得：S_n-1-S_n=2S_n?S_n-1，
由题意知S_n≠0，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
即{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=1为首项，公差d=2的等差数列．
（2）∵{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=1为首项，公差d=2的等差数列．
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，n∈N•．，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
当n=1时，a₁=S₁=1不满足a_n，
∴an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和等差数判断，要求熟练掌握等差数列的通项公式，考查学生的计算能力．