Question

已知点M（2，1），N（-2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ） 求E的方程；
（Ⅱ） 已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出P点坐标，依题意得列关于P点坐标的方程，化简后得答案；
（Ⅱ） 证法一、设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求出直线BC的方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0可证直线BC与曲线E相切．
证法二：设出C点坐标，把c的坐标代入E的轨迹方程，再求出圆A的方程，求出点B的坐标，进一步求得直线BC的斜率，然后利用导数求出抛物线在过C点的切线的斜率，可得直线BC与曲线x²=4y过点C的切线重合，即说明直线BC与曲线E相切．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），依题意得

y-1

x-2

-

y-1

x+2

=1，
化简得x²=4y（x≠±2），
∴曲线E的方程为x²=4y（x≠±2）；
（Ⅱ） 结论：直线BC与曲线E相切．
证法一：设C（x₀，y₀），则

x

2 0

=4y0，圆A的方程为x2+(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2，
令x=0，则(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2=(y0+1)2，
∵y₀＞0，y＜0，∴y=-y₀，点B的坐标为（0，-y₀），
直线BC的斜率为k=

2y0

x0

，直线BC的方程为y+y0=

2y0

x0

x，即y=

2y0

x0

x-y0，
代入x²=4y得，x2=4(

2y0

x0

x-y0)，即x0x2-8y0x+4x0y0=0，△=64

y

2 0

-4x0•4x0y0=16y0(4y0-

x

2 0

)=0，
∴直线BC与曲线E相切．
证法二：设C（x₀，y₀），则

x

2 0

=4y0，圆A的方程为x2+(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2，
令x=0，则(y-1)2=

x

2 0

+(y0-1)2=(y0+1)2，
∵y₀＞0，y＜0，∴y=-y₀，点B的坐标为（0，-y₀），
直线BC的斜率为k=

2y0

x0

，
由x²=4y得，y=

1

4

x2得，y′=

1

2

x，过点C的切线的斜率为k1=

1

2

x0，
而k=

2y0

x0

=

2× 1 4 x 2 0

x0

=

1

2

x0，
∴k=k₁，
∴直线BC与曲线x²=4y过点C的切线重合，
即直线BC与曲线E相切．

点评：本题考查了曲线方程的求法，考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了直线与圆的位置关系，对于（Ⅱ）的第二种证明方法，运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率，体现了导数在解题中的广泛应用，该题属中高档题．