Question

9．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）}\\{y=\sqrt{2}（cosθ-sinθ）}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C与l的交点的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$）和（2，$\frac{π}{6}$），
（1）求直线l的普通方程；
（2）设P点为曲线C上的任意一点，求P点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）将交点极坐标化为直角坐标，使用两点式方程得出l的普通方程；
（2）将C的参数方程代入点到直线的距离公式，求出最大距离．

解答 解：（1）直线l与曲线交点的直角坐标分别是（2cos$\frac{π}{3}$，2sin$\frac{π}{3}$），（2cos$\frac{π}{6}$，2sin$\frac{π}{6}$），即（1，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，1）．
∴直线l的普通方程为$\frac{y-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{x-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$，即x+y-$\sqrt{3}-1$=0．
（2）点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{2}（cosθ+sinθ）+\sqrt{2}（cosθ-sinθ）-\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cosθ-\sqrt{3}-1|}{\sqrt{2}}$．
∴当cosθ=-1时，d取得最大值$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的转化，参数方程在求距离中的应用，属于基础题．