Question

10．已知k∈R，直线l₁：x+ky=0过定点P，直线l₂：kx-y-2k+2=0过定点Q，两直线交于点M，则|MP|+|MQ|的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 直线l₁：kx+y=0过定点P（0，0），由kx-y-2k+2=0化为k（x-2）+（2-y）=0，可得直线l₂：kx-y-2k+2=0过定点Q（2，2）．可以判定两条直线相互垂直．利用2（|MP|²+|MQ|²）≥（|MP|+|MQ|）²，即可得出．

解答 解：直线l₁：kx+y=0过定点P（0，0），
由kx-y-2k+2=0化为k（x-2）+（2-y）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{2-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$．
直线l₂：kx-y-2k+2=0过定点Q（2，2）．
∴|PQ|²=2²+2²=8．
当k≠0时，两条直线的斜率满足$-\frac{1}{k}$×k=-1，此时两条直线相互垂直；
当k=0时，两条直线分别化为：x=0，y-2=0，此时两条直线相互垂直．
综上可得：两条直线相互垂直．
∴|MP|²+|MQ|²=|PQ|²=8．
∴16=2（|MP|²+|MQ|²）≥（|MP|+|MQ|）²，
解得|MP|+|MQ|≤4，当且仅当|MP|=|MQ|=2时取得等号．
则|MP|+|MQ|的最大值是4．
故选：B．

点评 本题考查了直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．