Question

若0＜y＜x＜

π

2

，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  5

• C、

  π

  4

• D、

  π

  3

Answer 1

考点：二倍角的正切,两角和与差的正弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由两角和的正切公式变形已知可得tan（x+y）=

2

1 tan(x-y) +3tan(x-y)

，由基本不等式可得其取值范围，结合选项可得答案．

解答： 解：∵tan2x=3tan（x-y），
∴tan[（x+y）+（x-y）]=3tan（x-y），
由两角和的正切公式可得

tan(x+y)+tan(x-y)

1-tan(x+y)tan(x-y)

=3tan（x-y），
变形可得tan（x+y）+tan（x-y）=3tan（x-y）-3tan²（x-y）tan（x+y），
即[1+3tan²（x-y）]tan（x+y）=2tan（x-y），
∴tan（x+y）=

2tan(x-y)

1+3tan2(x-y)

=

2

1 tan(x-y) +3tan(x-y)

，
∵0＜y＜x＜

π

2

，
∴0＜x-y＜

π

2

，
∴tan（x-y）＞0，
∴由基本不等式可得tan（x+y）=

2

1 tan(x-y) +3tan(x-y)

≤

2

2 3

=

3

3

当且仅当tan（x-y）=

3

时取等号，
结合0＜x+y＜π可得x+y≤

π

6

，或

π

2

＜x+y＜π，
四个选项只有A符合，
故选：A

点评：本题考查两角和与差的正切公式，以及基本不等式的应用，属中档题．