下面有5个命题:①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π．②若α为第二象限角.则$\frac{α}{3}$在一.三.四象限,③在同一坐标系中.函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有3个公共点．④把函数y=3sin的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin2x的图象．⑤函数y=sin在[0.π]上是减函数．其中.真命题的编号是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．下面有5个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②若α为第二象限角，则$\frac{α}{3}$在一、三、四象限；
③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有3个公共点．
④把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin2x的图象．
⑤函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）在[0，π]上是减函数．
其中，真命题的编号是①④．（写出所有真命题的编号）

分析展开平方差公式化简判断①；写出第二象限角的范围，得到$\frac{α}{3}$的范围判断②；利用辅助函数y=sinx-x的零点个数判断③；直接由函数的图象平移判断④；利用诱导公式化简后结合复合函数的单调性判断⑤．

解答解：①函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，最小正周期是π，故①正确；
②若α为第二象限角，则$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z$，$\frac{π}{6}+\frac{2kπ}{3}＜$$\frac{α}{3}$＜$\frac{π}{3}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，在一、二、四象限，故②错误；
③令y=sinx-x，则y′=cosx-1≤0，则函数y=sinx-x在实数集上为减函数，又当x=0时y=0，
∴在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有1个公共点，故③错误；
④把函数y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$得到y=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x的图象，故④正确；
⑤函数y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，在[0，π]上是增函数，故⑤错误．
∴真命题的序号为①④．
故答案为：①④．