Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A₁C作平面A₁CD平行于BC₁，交AB于D点，
（Ⅰ）求证：CD⊥AB
（Ⅱ）若四边形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=5$\sqrt{5}$，求直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，则E为AC₁中点，证明D为AB的中点，即可证明：CD⊥AB
（Ⅱ）取B₁C₁的中点H，连结A₁H，证明∠A₁FH为直线A₁D与平面BCC₁B₁所成的角，即可得出结论．

解答 （I）证明：连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，则E为AC₁中点，（2分）
∵BC₁∥平面A₁CD，DE=平面A₁CD∩平面ABC₁
∴DE∥BC₁，（4分）
∴D为AB的中点，
又∵△ABC为正△，∴CD⊥AB-（6分）
（ II）解：取B₁C₁的中点H，连结A₁H，则A₁H⊥B₁C₁（7分）
∵四边形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，D为AB的中点，
∴AA₁⊥AD，AA₁⊥A₁C，
∴AA₁⊥面A₁B₁C₁，故AA₁⊥A₁H，∴BB₁⊥A₁H．
∵B₁C₁∩BB₁=B₁，∴A₁H⊥面BCCB₁------（9分）
延长A₁D，B₁B相交于点F，连结FH，

则∠A₁FH为直线A₁D与平面BCC₁B₁所成的角．（10分）
因为D为AB的中点，故A₁F=2$\sqrt{5}$，又A₁H=$\sqrt{3}$
∴sin∠A₁FH=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
即直线A₁D与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查直线A₁D与平面BCC₁B₁所成的角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．