Question

18．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当-1≤x＜1时，f（x）=x³．若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log₅|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log_a|x|的图象，结合图象可得log_a5＜1 或 log_a5≥-1，由此求出a的取值范围．

解答 解：根据题意，函数g（x）=f（x）-log_a|x|的零点个数，
即函数y=f（x）与y=log_a|x|的交点的个数；
f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当-1＜x≤1时，f（x）=x³，
据此可以做出f（x）的图象，
y=log_a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log_ax，
则当x＜0时，y=log_a（-x），做出y=log_a|x|的图象，
结合图象分析可得：
要使函数y=f（x）与y=log_a|x|至少有6个交点，
则 log_a5＜1 或 log_a5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤$\frac{1}{5}$．
所以a的取值范围是（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．
故答案为：（0，$\frac{1}{5}$]∪（5，+∞）．

点评 本题考查了函数图象的变化与应用问题，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数，是综合性题目．