Question

17．已知复数z₁=cosθ-i，z₂=sinθ+i，则z₁z₂的虚部和实部的最大值（　　）

• A． $\sqrt{2}和1$
• B． $\sqrt{3}和\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}和\frac{3}{2}$
• D． 2和1

Answer 1

分析 把复数z₁=cosθ-i，z₂=sinθ+i，代入z₁•z₂化简，求出它的实部最大值，虚部最大值．

解答 解：z₁•z₂=（cosθsinθ+1）+i（cosθ-sinθ）．
实部为cosθsinθ+1=1+$\frac{1}{2}$sin2θ≤$\frac{3}{2}$，
所以实部的最大值为$\frac{3}{2}$．
虚部为cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-θ）≤$\sqrt{2}$，
所以虚部的最大值为$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的基本概念，三角函数的有关计算，是基础题．